Matemática Básica: Clase 3

Los números no solo son positivos y negativos, suponer eso es un error común, debe considerarse también la posibilidad de que los números sean cero: neutro o sin signo.

En los números reales existe una relación de orden, si a < b es fácil deducir que a se encuentra a la izquierda de b en la ubicación de una recta.

a ≤ b ≤ c también significa a ≤ b ^ b ≤ c (a es menor igual a b y b menor igual a c)

Propiedades básicas

Si a < b ^ C ∈ R (C puede ser negativo, positivo o cero)

  • a + c < b + c
  • a – c < b – c

En la suma y resta se mantiene la relación establecida.

  • a.c ¿? b.c

Al no saber el signo de C, no se puede afirmar que a.c sea mayor o menor que b.c.

  • C ∈ R+: a.c < b.c
  • C ∈ R-: a.c > b.c

Si un problema menciona que “a y b” tienen el mismo signo, eso descarta que alguno sea cero, debido a que cero no tiene signo, es neutro.

a < b entonces 1/a > 1/b

Ejemplo: 2 < 4 entonces 1/2 < 1/4

Por la ley de tricotomía, si a y b ∈ R se cumple solo una de las siguiente afirmaciones:

a < b o a > b o a = b

“A no es mayor a B” significa que puede ser menor o igual.

“A es por lo menos B” es igual a a ≥ b.

¿Cuántos números hay en [2;5]?, ¿cuatro?, no; hay infinitos, porque los reales engloba a decimales y sería imposible contar todos esos números. En los números naturales sí habría solo 4.

  • Intervalos acotados (recta real): ambos extremos son números reales.
  • Intervalos no acotados: al menos uno de los extremos es infinito.

En los intervalos abiertos no se sabe donde se inicia o termina; sin embargo, en los cerrados sí.

Ejemplo: (x – 5) ∈ [2 ; +∞>

¿Se debe insertar x – 5 entre 2 cerrado y +∞ abierto?, no, ese un error común, se debe operar únicamente con el 2:

x – 5 ≥ 2

x ≥ 7

C.S [7; +∞>

Ecuación de 1er grado: Una ecuación es una igualdad y en este caso tiene una variable, X.

Si a y b ∈ R y a ≠ 0

ax + b = 0

ax = – b

x = -b/a

C.S = {-b/a}

Nota: Esta ecuación tiene una respuesta única.

Inecuación de 1er grado: Una inecuación es una desigualdad y la variable es X.

ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b > 0

a y b ∈ R y a ≠ 0 (puede ser positivo o negativo)

Si ax + b < 0

ax < -b

x < -b/a (esto es erróneo, porque deduces que a es positivo: si fuera negativo se invertiría el menor igual por un mayor igual y todo se afectaría).

En cambio, si el problema indica a > 0 entonces sí: C.S = <-∞; -b/a>

En este caso la respuesta es un intervalo.

En la lectura de problemas de desigualdades, en caso de tener problema con la interpretación, se recomienda ignorar la palabra “no” y al final incluir su complemento en la tricotomía.

Ejemplo: “b no es excedido por a“, lo lees como “b es excedido por a” o sea a > b, ahora su complemento en la tricotomía sería a < b y a = b, lo que daría como resultado a ≤ b o b ≥ a.

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