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Matemática Básica: Clase 4

Las inecuaciones son desigualdades que deben dar como resultado un intervalo, usualmente, ubicado en el conjunto de los números reales, a no ser que se indique lo contrario.

Lo mejor en caso de tener una doble inecuación es operar, sumando o restando números o multiplicando números, dependiendo del problema. En caso de tener X en ambos lugares, se recomienda separar el problema y luego operar con la ^ (intersección).

A continuación, algunos problemas resueltos:

inecuaciones

Debemos recordar que cuando en una inecuación se cancelan las X y tenemos una afirmación, en caso que la afirmación sea verdadera, el resultado será R y en caso que la afirmación sea falsa, el resultado será Ø.

A continuación, adjuntaré una imagen, donde se puede apreciar un ejemplo y al final la respuesta de una intersección con N:

inecuaciones2

Matemática Básica: Clase 3

Los números no solo son positivos y negativos, suponer eso es un error común, debe considerarse también la posibilidad de que los números sean cero: neutro o sin signo.

En los números reales existe una relación de orden, si a < b es fácil deducir que a se encuentra a la izquierda de b en la ubicación de una recta.

a ≤ b ≤ c también significa a ≤ b ^ b ≤ c (a es menor igual a b y b menor igual a c)

Propiedades básicas

Si a < b ^ C ∈ R (C puede ser negativo, positivo o cero)

  • a + c < b + c
  • a – c < b – c

En la suma y resta se mantiene la relación establecida.

  • a.c ¿? b.c

Al no saber el signo de C, no se puede afirmar que a.c sea mayor o menor que b.c.

  • C ∈ R+: a.c < b.c
  • C ∈ R-: a.c > b.c

Si un problema menciona que “a y b” tienen el mismo signo, eso descarta que alguno sea cero, debido a que cero no tiene signo, es neutro.

a < b entonces 1/a > 1/b

Ejemplo: 2 < 4 entonces 1/2 < 1/4

Por la ley de tricotomía, si a y b ∈ R se cumple solo una de las siguiente afirmaciones:

a < b o a > b o a = b

“A no es mayor a B” significa que puede ser menor o igual.

“A es por lo menos B” es igual a a ≥ b.

¿Cuántos números hay en [2;5]?, ¿cuatro?, no; hay infinitos, porque los reales engloba a decimales y sería imposible contar todos esos números. En los números naturales sí habría solo 4.

  • Intervalos acotados (recta real): ambos extremos son números reales.
  • Intervalos no acotados: al menos uno de los extremos es infinito.

En los intervalos abiertos no se sabe donde se inicia o termina; sin embargo, en los cerrados sí.

Ejemplo: (x – 5) ∈ [2 ; +∞>

¿Se debe insertar x – 5 entre 2 cerrado y +∞ abierto?, no, ese un error común, se debe operar únicamente con el 2:

x – 5 ≥ 2

x ≥ 7

C.S [7; +∞>

Ecuación de 1er grado: Una ecuación es una igualdad y en este caso tiene una variable, X.

Si a y b ∈ R y a ≠ 0

ax + b = 0

ax = – b

x = -b/a

C.S = {-b/a}

Nota: Esta ecuación tiene una respuesta única.

Inecuación de 1er grado: Una inecuación es una desigualdad y la variable es X.

ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0, ax + b < 0, ax + b > 0

a y b ∈ R y a ≠ 0 (puede ser positivo o negativo)

Si ax + b < 0

ax < -b

x < -b/a (esto es erróneo, porque deduces que a es positivo: si fuera negativo se invertiría el menor igual por un mayor igual y todo se afectaría).

En cambio, si el problema indica a > 0 entonces sí: C.S = <-∞; -b/a>

En este caso la respuesta es un intervalo.

En la lectura de problemas de desigualdades, en caso de tener problema con la interpretación, se recomienda ignorar la palabra “no” y al final incluir su complemento en la tricotomía.

Ejemplo: “b no es excedido por a“, lo lees como “b es excedido por a” o sea a > b, ahora su complemento en la tricotomía sería a < b y a = b, lo que daría como resultado a ≤ b o b ≥ a.

Matemática Básica: Clase 2

Matemática BásicaEs un poco complicado publicar sobre matemáticas, porque se deben realizar dibujos, escribir signos y demás cosas que llevan tiempo.

Sería más práctico digitalizar todos los materiales que me brindan, pero podría incurrir en una falta por derechos de autor, así que haré mi mejor esfuerzo por incluir lo que considero lo más importante del curso y agregaré material relacionado que ya esté disponible en Internet a fin de aprovechar también esos contenidos.

Conjunto de números reales

  • La relación de elemento a conjunto es de (pertenece) y (no pertenece)
  • La relación de conjunto a conjunto es de ⊂ (incluido) y ¢ (no incluido)
  • A ∩ Ø = Ø porque el conjunto nulo o vacío no tiene nada en común con nada.
  • Un conjunto finito tiene un número de elementos conocidos, lo contrario que un conjunto infinito.

N = números naturales: Son una secuencia o conteo, inician en cero (depende de la institución educativa). Ejemplo: {0, 1, 2, 3,…}

Z = números enteros: Son también una secuencia de negativos y positivos. N⊂Z. Ejemplo: {…,-2,-1,0,1,2,…}

Q = números racionales: No son una secuencia, contiene los anteriores y además fracciones, decimales periódicos puros y mixtos. Ejemplo: {1/2, 2.5, 3/4}

I = números irracionales: No tienen relación con todo lo anterior: Ejemplo: {√2, √3, ∏}

Importante: N⊂Z⊂Q⊂R y I⊂R. Todo pertenece a R, pero no hay relación entre Q e I.

  • 3.1415 Q porque tiene finitos decimales.
  • 0.333…. Q porque es periódico: se repite.

Propiedades básicas o axiomas

Clausura: La operación de dos factores da el mismo conjunto numérico. Ejemplo: 2×2 = 5 ∈ R.

Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma, ni el orden de los factores alteran el producto. Ejemplo: 2 + 3 = 3 + 2

Asociativa: Todo debe de tener la misma operación: agrupa, asocia. Ejemplo: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)

Elemento neutro: Donde operas (multiplicación o suma) con un número y te queda el mismo número. Ejemplo: 6 x 1 = 6 o 6 + 0 = 0

Elemento inverso: El número que vamos a operar (multiplicación o suma) para obtener el neutro. Ejemplo: 6 + (-6) = 0 o 6x1/6 = 1.

Distributiva: Se utiliza para distribuir los factores, usualmente se ve junto a la factorización.

  • -A no es negativo, no se sabe qué es: “A” puede ser (-2) y con el signo negativo inicial se convierte en 2 positivo: -(-2) = 2.
  • La resta y división no son conmutativas, ni asociativas, no tienen elemento neutro ni inverso.
  • {-1,0,1} hay clausura, porque al multiplicarse todos dan como resultado ellos mismos.
  • {-1,0} no hay clausura, porque faltaría el -1x-1=1.
  • Los números solo son positivos o negativos, también pueden ser cero.
  • En los reales hay una relación de orden.

Video: Propiedades de los números reales

Inició el ciclo 2013-1 en la Universidad de Lima

Universidad de Lima

Estas últimas cuatro semanas he estado muy atareado, con nuevas actividades en Tecnología 21: cambios en nuestra estructura de trabajo y también potenciando otros proyectos paralelos que en otro momento comentaré.

Se me ocurrió desde entonces esperar a que inicie este nuevo ciclo en la Universidad para compartir aquí las clases que me imparten: mi registro personal de ello.

El día de ayer, lunes 1 de abril, inició el nuevo ciclo 2013-1 en la Universidad de Lima. En esta ocasión me he matriculado a tres cursos; sin embargo, quise llevar solo dos, debido a que dispongo de poco tiempo.

Los cursos a los que me he inscrito son los siguientes: Matemática Básica, Historia del Perú contemporáneo e Introducción a las Ciencias Sociales. Procederé a hacer un breve resumen de estos dos primeros días del ciclo 2013-1:

Matemática Básica

Nos informaron sobre los objetivos del curso, la forma de evaluación, etc. Además, nos recordaron cosas básicas del curso:

  • Los conjuntos contienen elementos y ellos no se deben de repetir o contar más de una vez.
  • Los conjuntos están incluidos en sí mismos.
  • Ø está incluido en todos los conjuntos y es igual a { } no {Ø}.
  • ∩ es intersección y U unión, también se expresan así ^ y v.
  • El complemento de algo es el universo menos ese algo.
  • El complemento de Ø es el universo y viceversa.

Introducción a las Ciencias Sociales

Nos informaron sobre los objetivos del curso, la forma de evaluación, etc. Además, nos comentaron brevemente lo siguiente:

  • Es importante comprender y entender todas las cosas.
  • Comprender es atravesar las apariencias.
  • Yo, mi empresa y mi país no somos una isla, todos nos influencian y nosotros los influenciamos.
  • “No importa el color del gato, lo importante es que cace ratones”, Deng Xiaoping.
  • Corea, China, Japón y otros países lograron desarrollarse debido a que comprendieron y entendieron su entorno.
  • La tecnología de las telecomunicaciones nos ha dejado sin privacidad.
  • El interés personal es el motor de la vida de las personas.

No basta con ser expertos en nuestra profesión sino también debemos saber aplicar nuestro conocimiento a otros campos, esa es una diferencia entre la preparación técnica y la universitaria.

En clase nos comentaron que Luis Favre, quien asesoró a la campaña del NO a la revocación de Susana Villarán, confesó entre otras cosas, que leía el diario Trome y veía el programa “Al fondo hay sitio”, lo que le ayudó a tomar el pulso a la población que debía dirigirse: comprender y entender a los limeños.

  • Las grandes empresas tienen información de cómo van los países económicamente, políticamente, etc. Deben comprender y entender su entorno, gustos y exigencias.
  • Se iba a invertir 4000 millones en Conga, pero hubo problemas de comunicación y problemas sociales, por ello se detuvo todo.
  • El PBI del Perú se incrementa, pero también la delincuencia debido a una mala educación, falta de valores, falta de especialización, desigualdad y exclusión social.
  • “En India se mueren de hambre, pero no matan vacas”, los antropólogos deben comprender y entender eso.
  • Abraham Lincoln liberó a los esclavos no solo por bondad sino también porque ellos se convertirían en nuevos consumidores y esto favorecería la economía americana.
  • A raíz del problema de Conga se han duplicado los antropólogos en las empresas mineras.

Historia del Perú contemporáneo

Nos informaron sobre los objetivos del curso, la forma de evaluación, etc. Además, nos comentaron brevemente lo siguiente:

  • “El territorio es el marco donde el hombre hace la Historia”.
  • En 1950 se inició a la explosión demográfica en Perú: litorización, urbanización y centralismo.
  • Actualmente somos más de 30 millones de peruanos y en nuestro Bicentenario, en el 2021, se estima que seremos más de 35 millones.
  • Las economías de exportación: guanera, cauchera y pesquera (anchoveta).
  • Las crisis económicas: 1872, 1929 (corresponde el famoso crack) y 1990 (Alan García).
  • La deuda externa y su estado actual.
  • La dinámica laboral y el movimiento obrero peruano.

Problemas y soluciones encontrados:

  • El correo de la universidad ahora es compatible con clientes de correo e incluso dispositivos móviles. Si no puedes ver los caracteres correctamente revisa la configuración que para tabletas y smartphones.
  • Si no puedes acceder a la web de la Universidad desde el propio Wi-Fi ULima, borra las DNS personalizadas que has incluido. En mi caso tenía las 8.8.8.8 y 8.8.4.4 de Google, al tener por defecto las de la Universidad se solucionó el problema.